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9.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且AB=10cm,BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于2cm,2cm,2cm.

分析 由角平分线的性质易得OE=OF=OD,AE=AF,CE=CD,BD=BF,设OE=OF=OD=x,则CE=CD=x,BD=BF=8-x,AF=AE=6-x,所以6-x+8-x=10,解答即可.

解答 解:连接OB,
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,
∴OE=OF=OD,
又∵OB是公共边,
∴Rt△BOF≌Rt△BOD(HL),
∴BD=BF,
同理,AE=AF,CE=CD,
∵∠C=90°,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,OD=OE,
∴OECD是正方形,
设OE=OF=OD=x,则CE=CD=x,BD=BF=8-x,AF=AE=6-x,
∴BF+FA=AB=10,即6-x+8-x=10,
解得x=2.
则OE=OF=OD=2.
即点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于2,2,2.
故答案为:2cm,2cm,2cm.

点评 此题综合考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和正方形的判定等知识点,设未知数,并用未知数表示各边是关键.

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