Question

1．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥AD，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFD=∠C．
（1）求证：△ADF∽△DEC；     
（2）若AB=4，AD=3$\sqrt{3}$，AE=3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，易证得∠ADF=∠DEC，由∠AFD=∠C，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△ADF∽△DEC；
（2）首先利用勾股定理得出DE的长，再利用相似三角形的性质求出AF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED
∵∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AF}{CD}$，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{6}$=$\frac{AF}{4}$，
解得：AF=2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．