Question

5．菱形的面积为27cm² ，两条对角线之比为2：3，则菱形的高为多少．

Answer 1

分析 由菱形的性质得出OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，设AC=2x，则BD=3x，OA=x，BD=$\frac{3}{2}$x，由菱形的面积得出方程，解方程求出OA、OB，由勾股定理得出AB，作CE⊥AB于E，由菱形的面积求出CE即可．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
设AC=2x，
则BD=3x，
∴OA=x，BD=$\frac{3}{2}$x，
∵菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=27，
∴$\frac{1}{2}$•2x•3x=27，
解得：x=±3（负值舍去），
∴x=3，
∴OA=3，OB=$\frac{9}{2}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
作CE⊥AB于E，
∵菱形ABCD的面积=AB•CE=27，
∴CE=$\frac{27}{AB}$=$\frac{27}{\frac{3\sqrt{13}}{2}}$=$\frac{18\sqrt{13}}{13}$，
即菱形的高为$\frac{18\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了菱形的性质、菱形面积的计算方法、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．