Question

如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax²+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=x²+x；（2）（，）；（3）

试题分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c经过点O、A、C即可根据待定系数法求得抛物线解析式；
（2）设点P的横坐标为t，由PN∥CD，可证得△OPN∽△OCD，根据相似三角形的性质可得PN=，则可得点P坐标为（t，），由点M在抛物线上可得M（t，t²+t），过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，则AG=y_A﹣y_M=2﹣（t²+t）=t²﹣t+2，BH=PN=，当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，即可得到关于t的方程，解出即可得到结果；
（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C的直线为y_AC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，OH=2RH，即可得到点Q的坐标，从而表示出A′Q的长，先求出tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，即可表示出KT、OK，过点R作RH⊥x轴于H，先表示出S关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果.
（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点O、A、C，
可得c=0，∴
解得a=，b=，
∴抛物线解析式为y=x²+x．
（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t²+t）．
如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=y_A﹣y_M=2﹣（t²+t）=t²﹣t+2，BH=PN=．
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴t²﹣t+2=，
化简得3t²﹣8t+4=0，解得t₁=2（不合题意，舍去），t₂=，
∴点P的坐标为（，）
∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．
（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为y_AC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），

易知△OQT∽△OCD，可得QT=，OH=2RH
∴点Q的坐标为（a，）．
A′Q=﹣a+3﹣=（3﹣a）
∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，
∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，
过点R作RH⊥x轴于H，
∵tan∠OAB=tan∠KRH==2，
∴RH=2KH，OH=4RH=2a﹣2
∴HT=a-(2 a﹣2)=2-a
S_{四边形RKTQ}=S_△A′KT﹣S_△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•HT
=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）
=a²+a﹣=（a﹣）²+
由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.