Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．
（1）线段AD与CE是否垂直？说明理由；
（2）若AB=10，AC=6，求△BDE的周长．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用条件证明△AED≌△ACD，利用等腰三角形的三线合一的性质可证明结论；
（2）可求得BC的长，再利用（1）的结论可求得BE，且DE=DC，可求得BD+BE+DE．

解答：解：
（1）垂直，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠ACB=90°，
在△AED和△ACD中

∠EAD=∠CAD ∠DEA=∠DCA AD=AD

∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE；
（2）∵AB=10，AC=6，
∴在△ABC中由勾股定理可求得BC=8，
∵AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
又△△AED≌△ACD，
∴DC=DE，
∴BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=4+8=12，
即△BDE的周长为12．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的对应边、对应角相等和等腰三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线相互重合是解题的关键．