Question

【题目】已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，

∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，

∴AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，

在△BCE和△DCF中， ，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：

由（1）得：AE=OE=OF=AF，

∴四边形AEOF是菱形，

∵AB⊥BC，OE∥BC，

∴OE⊥AB，

∴∠AEO=90°，

∴四边形AEOF是正方形．

【解析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．