Question

如图，含有30°角的直角三角板EFG的直角顶点放在宽为2cm的直尺ABCD的BC边上，并且三角板的直角边EF始终经过点A，直角边EG与AD交于点H；∠G=30°
（1）当∠1=36°时，求∠2的度数．
（2）当∠1为多少度时，AH∥FG，并求此时AH的长度．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

Answer 1

考点：勾股定理,平行线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：根据同角的余角相等求出∠1=∠AHE，再根据对顶角相等可得∠2=∠AHE，从而得到∠2=∠1；
（1）代入数据即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠G=30°；设AH=x，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=

1

2

x，BE=

1

4

x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：根据题意，∠1+∠EAH=90°，
∠AHE+∠EAH=90°，
∠1=∠AHE，
∠AHE=∠2，
∠1=∠2，
（1）当∠1=36°时∠2=∠1=36°；

（2）当∠1=30°时，AH∥FG．
理由如下：∵AH∥FG，
∴∠2=∠G=30°，
∴∠1=∠2=30°，
设AH=x，
在Rt△AEH中，∵∠AHE=30°，
∴AE=

1

2

AH=

1

2

x，
在Rt△ABE中，∵∠1=30°，
∴BE=

1

2

AE=

1

4

AH=

1

4

x，
在Rt△ABE中，由勾股定理：AB²+BE²=AE²，
即2²+（

1

4

x）²=（

1

2

x）²，
解得x=

8 3

3

cm，
即AH=

8 3

3

cm．

点评：本题考查了勾股定理，平行的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，矩形的性质，三角板的知识，熟记性质并准确识图是解题的关键．