Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）如果⊙O的直径为5，sinA=$\frac{3}{5}$，求DE、BC的长．

Answer 1

分析 （1）先连接OD、AD，由于OD=OA，易知∠ODA=∠OAD，而AB=AC，AD⊥BC，结合等腰三角形三线合一定理，易证∠ODA=∠CAD，又由于DE⊥AC，那么∠EDA+∠CAD=90°，等量代换有∠EDA+∠ODA=90°，即可证DE是⊙O的切线；
（2）设AC于⊙O的交点为F，连接BF，根据圆周角定理易证∠AFB=90°，根据正弦函数求得BF，然后根据勾股定理求得AF，进而求得CF，根据勾股定理即可求得BC，根据平行线分线段成比例定理即可求得DE．

解答 解：（1）DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，AD，如图1，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
又∵DE⊥AC，
∴∠EDA+∠CAD=90°，
∴∠EDA+∠ODA=90°，
即：OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）设AC于⊙O的交点为F，连接BF，如图2，
∵AB是直径，
∵∠AFB=90°，
∵⊙O的直径为5，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{BF}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴BF=3，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=4，
∵AB=AC=5，
∴CF=5-4=1，
∴BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴$\frac{DC}{BC}$=$\frac{DE}{BF}$，
∵DC=BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形三线合一定理、切线的判定和性质、正弦的计算、勾股定理、平行线分线段成比例定理．解题的关键是连接OD，AD，构造等腰三角形和直角三角形．