练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y=
    k
    x
    (k＞0)    的图象与AC边交于点E．
    （1）填空：点C的坐标是
    （6，4）
    （6，4）
    ；
    （2）连接 OE、OF，若tan∠BOF=
    4
    9
    ，求∠AOE的度数；
    （3）是否存在这样的点F，使得△OEF为直角三角形？若存在，求出此时点F坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由OA与OB的长，根据C位于第一象限点，即可确定出C的坐标；
    （2）在直角三角形BOF中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠BOF，由OB的长求出BF的长，进而确定出F的坐标，将F坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例函数解析式，将y=4代入反比例解析式求出对应x的值，确定出OA与AE的长相等，得到三角形AOE为等腰直角三角形，即可得出∠AOE的度数；
    （3）存在这样的点F，使得△OEF为直角三角形，理由为：由∠EOF为锐角，不可能为直角，设BF=a，由OB=6，得到F（6，a），代入反比例解析式得：k=6a；由OA=4，得到4AE=k=6a，即AE=AE=1.5a，EC=AC-AE=6-1.5a，CF=BC-BF=4-a；分两种情况考虑：当∠OEF为直角时，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等得到三角形AOE与三角形ECF相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值；当∠OFE为直角时，同理求出a的值，经检验不合题意，综上得到满足题意a的值．
    解答：解：（1）∵OB=6，OA=4，且C在第一象限，
    ∴C的坐标为（6，4）；
    故答案为：（6，4）；

    （2）在Rt△OBF中，tan∠BOF=
    BF
    OB
    =
    4
    9
    ，OB=6，
    ∴BF=
    8
    3
    ，
    ∴F（6，
    8
    3
    ），
    将F点坐标代入反比例解析式得：k=6×
    8
    3
    =16，即反比例解析式为y=
    16
    x
    ，
    ∴将y=4代入反比例解析式得：x=4，即E（4，4），
    在Rt△AOE中，OA=AE=4，
    ∴∠AOE=45°；

    （3）存在，理由为：
    设BF=a，由OB=6，得到F（6，a），代入反比例解析式得：k=6a；
    由OA=4，得到4AE=k=6a，即AE=1.5a，
    ∴EC=AC-AE=6-1.5a，CF=BC-BF=4-a，
    由∠EOF为锐角，不可能为直角，
    故分两种情况讨论：
    ①当∠OEF=90°时，可得∠AEO+∠FEC=90°，
    又∠AEO+∠AOE=90°，且∠OAE=∠ECF=90°，
    ∴△AOE∽△CEF，
    ∴
    AO
    CE
    =
    AE
    CF
    ，即
    4
    6-1.5a
    =
    1.5a
    4-a
    ，
    整理得9a2-52a+64=0，
    解得：a1=
    16
    9
    ，a2=4，
    ∴F（6，
    16
    9
    ）；
    ②当∠OFE=90°时，同理△CEF∽△BFO，
    ∴
    CE
    BF
    =
    CF
    OB
    ，即
    6-1.5a
    a
    =
    4-a
    6
    ，
    整理得a2-13a+36=0，
    解得a1=9，a2=4均不合题意，
    ∴∠OFE≠90°，
    综上所述，当F（6，
    16
    9
    ）时，△OEF为为直角三角形．
    点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，锐角三角函数定义，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的探究型试题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y=
    kx
    （k＞0）的图象与AC边交于点E．
    （1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
    （2）记S=S△OEF-S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
    （3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若精英家教网存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y=
    kx
    （k＞0）的图象与AC边交于点E．
    （1）求证：AE•AO=BF•BO；
    （2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
    （3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长；若不存在，请说明理由．
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•萝岗区一模）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y=
    kx
    (k＞0)    的图象与AC边交于点E．
    （1）设点E，F的坐标分别为：E（x1，y1），F（x2，y2），△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，求证：S1=S2；
    （2）若y2=1，求△OEF的面积；
    （3）当点F在BC上移动时，△OEF与△ECF的面积差记为S，求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．F是BC边上的点，过F点的反比例函数y=
    kx
    （k＞0）的图象与AC边交于点E．若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，求点F的坐标．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案