Question

【题目】请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．

下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．

证明：如图，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点， ∴MA=MC ．．．

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于，AB=2，D为圆上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD与点E，则△BDC的周长是 ．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2+2.

【解析】

（1）如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；

（2）如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD．首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．

（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA=MC．

在△MBA和△MGC中

∵，

∴△MBA≌△MGC（SAS），

∴MB=MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD=GD，

∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，

由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，

在△ABF和△ACD中

∵，

∴△ABF≌ACD（SAS），

∴AF=AD，

∵AE⊥BD，

∴FE=DE，则CD+DE=BE，

∵∠ABD=45°，AB=2

∴BE=，

∴BD+CD=2BE=2，

∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AB=2，

则△BDC的周长是2+2．