Question

如图，正方形ABCD中，E是AB边的中点，F在BC边上且BF=1，FC=3，连接DE、DF、EF，
（1）求证：△ADE∽△BEF； 
（2）求△DEF的面积．

Answer 1

分析：（1）根据E为AB中点，BF、FC的长度即可求得△ADE∽△BEF；
（2）根据（1）的结论可以证明∠DEF=90°，根据勾股定理即可求得EF、DE的长，即可解题．

解答：解：（1）∵BF=1，FC=3，E为AB中点，
∴AE=EF=2，
∴

AE

AD

=

BF

BE

=

1

2

，
又∵∠DAE=∠EBF=90°，
∴△ADE∽△BEF；

（2）∵△ADE∽△BEF，
∴∠AED=∠BFE，
∴∠DEF=180°-∠BEF-∠BFE=90°，
∵DE=

AD2+ AE2

=2

5

，
EF=

BE2+BF2

=

5

，
∴△DEF的面积=

1

2

DE•EF=

1

2

×2

5

×

5

=5．

点评：本题考查了相似三角形的证明，考查了直角三角形的判定，考查了直角三角形面积的计算，考查了相似三角形对应角相等的性质，本题中求△ADE∽△BEF是解题的关键．