Question

15．如图1，在△OAB中，OA边在x轴上，已知∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，点C坐标为（0，8）．D是OB的中点，AD=$\frac{1}{2}BO$，连接AD并延长交OC于E．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求直线AG的解析式．

Answer 1

分析 （1）通过解直角三角形找出线段OA、AB的长度，即可得出点B的坐标；
（2）利用平行线的性质找出“∠ABD=∠EOD，∠BAD=∠OED”，再由中点的定义找出OD=BD，从而可知证出△BAD≌△OED，由此即可得出OE=AB=4，再根据点C的坐标即可得出AB=CE，利用平行四边形的判定定理即可得出结论．
（3）设点G的坐标为（0，m），直线AG的解析式为y=kx+m．由折叠的性质结合勾股定理即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，再由点A的坐标利用待定系数法即可得出结论．

解答 解：（1）在Rt△OAB中，OB=8，∠OAB=90°，∠AOB=30°，
∴AB=OB•sin∠AOB=8×$\frac{1}{2}$=4，OA=OB•cos∠AOB=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
∴点B的坐标为（4$\sqrt{3}$，4）．
（2）证明：∵AB⊥x轴，EO⊥x轴，
∴AB∥OE，
∴∠ABD=∠EOD，∠BAD=∠OED．
∵D是OB的中点，
∴OD=BD．
在△BAD和△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠EOD}\\{∠BAD=∠OED}\\{OD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△OED（AAS）．
∴OE=AB=4．
∵点C坐标为（0，8），
∴CE=OC-OE=8-4=4=AB．
又∵CE∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（3）设点G的坐标为（0，m），直线AG的解析式为y=kx+m．
依题意可得：（8-m）²=m²+$（4\sqrt{3}）^{2}$，
解得：m=1．
∴点G的坐标为（0，1）．
∵OA=4$\sqrt{3}$，
∴点A的坐标为（4$\sqrt{3}$，0）．
将点A（4$\sqrt{3}$，0）代入到y=kx+1中，
得：0=4$\sqrt{3}$k+1，
解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∴直线AG的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$+1．

点评 本题考查了解直角三角形、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定定理、勾股定理、解一元二次方程以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）求出线段AB、OA的长；（2）证出CE=AB；（3）求出点G的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证全等三角形得出相等的线段，再根据边的关系找出相等的对边是关键．