Question

（一）兰兰在玩积木游戏时，把三个正方形积木摆成一定的形状，正视图如图①，

问题（1）：若此中的三角形△DEF为直角三角形，P的面积为9cm²，Q的面积为15cm²，则M的面积为_______；
问题（2）：若P的面积为36cm²，Q的面积为64 cm²，同时M的面积为100 cm²，则△DEF为_______三角形；
（二）图形变化：

Ⅰ.如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积之间有什么关系吗？请说明理由。
Ⅱ.如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3cm和4cm，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？

Answer 1

（一）（1）24；（2）直角；（二）；6

解析试题分析：（一）（1）根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和；
（2）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，即根据勾股定理的逆定理就可证明是直角三角形；
（二）I根据半圆的面积公式以及勾股定理就可发现：两个小半圆的面积和等于大半圆的面积；
II根据上述结论就可发现：阴影部分的面积=直角三角形的面积．
（一）∵P=DE²，Q=EF²，M=DF²，DE²+EF²=DF²，
∴M=P+Q=24；
∵M=P+Q，
即DE²+EF²=DF²，
∴△DEF是直角三角形；
（二）I设直角三角形的边从小到大分别是a，b，c．则a²+b²=c²．
两边同除以，即得：两小半圆的面积和等于大半圆的面积．
II根据I中的结论，得阴影部分的面积=S直角三角形的面积=×3×4=6．
考点：勾股定理，勾股定理的逆定理
点评：解答本题的关键是注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．