Question

1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（1，0），点P是线段AB上的动点（点P不与点B、C重合），点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），则△PQR周长的最小值为$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

Answer 1

分析 如图1中，作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，再证明P′P″=2MN，MN最小时，△PQR周长最小，利用图2证明当点P与点O重合时MN最小，在图3中利用相似三角形的性质求出MN的最小值即可解决问题．

解答 解：如图1中，
作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，
此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，
∵PM=MP′，PN=NP″，
∴P′P″=2MN，
∴当MN最小时P′P″最小．
如图2中，
∵∠AMP=∠ANP=90°，
∴A、M、P、N四点共圆，线段AP就是圆的直径，MN是弦，
∵∠MAN是定值，
∴直径AP最小时，弦MN最小，
∴当点P与点O重合时，PA最小，此时MN最小．
如图3中，
∵在RT△ABO中，∠AOB=90°，AO=2，OB=3，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在RT△AOC中，∵∠AOC=90°，AO=2，CO=1，
∴AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴$\frac{1}{2}$•AC•ON=$\frac{1}{2}$•OC•AO，
∴ON=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，AN=$\sqrt{A{O}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵∠MAO=∠OAB，∠AMO=∠AOB，
∴△AMO∽△AOB，
∴$\frac{AM}{AO}=\frac{AO}{AB}$，
∴AO²=AM•AB，同理AO²=AN•AC，
∴AM•AB=AN•AC，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$，
∵∠MAN=∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{MN}{4}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{13}}$，
∴MN=$\frac{16\sqrt{65}}{65}$，
∴△PQR周长的最小值=P′P″=2MN=$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．
故答案为$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

点评 此题主要考查了轴对称-最短问题、圆、相似三角形的判定和性质等知识，根据两点之间线段最短的知识找到P点的位置是解答此题的关键，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．