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    3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为斜边作等腰直角三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P运动到到点C时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．

    （1）在点P从点M向点B运动的过程中，设PQ的长为y，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围），并求当点E在AD上时t的值．
    （2）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，该最大值能否持续一段时间？若能，求出t的取值范围；若不能，请说明理由．
    （3）在整个运动过程中，设△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

    分析 （1）由y=PM+QM列出函数关系式即可；
    （2）当t=4时，△EPQ的边长达到最大值，此后△EPQ沿射线BC平移，从而可求得t的取值范围；
    （3）分多种情况讨论：如图2，连接EM，则EM⊥PQ，EM=$\frac{1}{2}$PQ，当0＜t≤3时，得到S=S△EPQ=$\frac{1}{2}$PQ•EM=$\frac{1}{2}$2t•t=t2，当3＜t≤4时，如图3，过P作PF⊥AD与F，连接EM得到S=6t-9，当4＜t≤5时，如图4，过P作PF⊥AD与F，得到S=$\frac{29}{2}$；当5＜t≤7时，如图5，得到S=-t+$\frac{11}{2}$，当7＜t＜12时，如图6，过N作NH⊥BC与H，过D作DG⊥BC与G，得到S=$\frac{3}{5}$t2$\frac{84}{5}$t+$\frac{432}{5}$．

    解答 解：（1）y=MP+MQ=2t；

    （2）能，
    此时，4≤t≤5．
    过程如下：
    如图1，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点，
    此时被覆盖线段的长度达到最大值，
    ∵△PEQ为等腰直角三角形，
    ∴∠EPC=45°，
    ∴∠APE=45°，
    ∵AB=3，
    ∴AF=3，BF=3$\sqrt{2}$，
    ∴EF=FG=$\sqrt{2}$，
    ∴GD=6-3-2=1，
    所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变，
    ∴4≤t≤5；

    （3）如图2，连接EM，则EM⊥PQ，EM=$\frac{1}{2}$PQ，
    当0＜t≤3时，
    ∴S=S△EPQ=$\frac{1}{2}$PQ•EM=$\frac{1}{2}$2t•t=t2，
    当3＜t≤4时，如图3，过P作PF⊥AD与F，连接EM，
    则四边形ABPF是矩形，
    ∴PF=AB=3，
    ∴△FHP是等腰直角三角形，
    ∴PH=3$\sqrt{2}$，
    ∵PQ=2t，
    ∴PE=$\sqrt{2}$t，
    ∴EH=$\sqrt{2}$t-3$\sqrt{2}$，
    ∴S=S△PQE-S△EHG=$\frac{1}{2}$PE2-$\frac{1}{2}$EH2，
    ∴S=6t-9，
    当4＜t≤5时，如图4，过P作PF⊥AD与F，
    则四边形ABPF是矩形，
    ∴PF=AB=3，
    ∴HF=PF=3，PH=3$\sqrt{2}$，
    ∵PQ=8，
    ∴PE=4$\sqrt{2}$，
    ∴EH=$\sqrt{2}$，
    ∴HG=2，
    ∵AF=PB=CQ=t-4，
    ∴DG=6-（t-4）-3-2=5-t，
    ∴S=S△PQE-S△EHG-S△CQN-S△GDN=$\frac{1}{2}×8×4$-$\frac{1}{2}$（DG+CQ）•AB，
    ∴S=$\frac{29}{2}$；
    当5＜t≤7时，如图5，
    ∵AH=3+t-4，
    ∴DH=6-（t-1）=7-t，PB=CQ=t-4，
    ∴CP=8-（t-4），
    ∴S=S梯形PCDH=$\frac{1}{2}$（DH+PC）•AB，
    ∴S=-t+$\frac{11}{2}$，
    当7＜t＜12时，如图6，过N作NH⊥BC与H，过D作DG⊥BC与G，
    ∴PH=NH，NH∥DG，
    ∴$\frac{CH}{NH}=\frac{CG}{DG}=\frac{2}{3}$，
    ∴CH=$\frac{2}{3}$NH=$\frac{2}{3}$PH，
    ∵PH+CH=PC=12-t，
    ∴$\frac{2}{3}$PH+PH=12-t，
    ∴NH=PH=$\frac{36-3t}{5}$，
    ∴S=S△PNC=$\frac{1}{2}$PC•NH，
    ∴S=$\frac{3}{5}$t2-$\frac{84}{5}$t+$\frac{432}{5}$．

    点评 本题主要考查的是四边形的综合应用、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、梯形的面积公式，根据题意画出图形是解题的关键．

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    （2）求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
    （3）是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的$\frac{7}{16}$？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

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