Question

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA、sinB是方程x²-$\sqrt{2}$x-k=0的两个根，则∠A=45°，∠B=45°，k=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据锐角三角函数关系式，得sin²A+sin²B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=$\sqrt{2}$，sinA•sinB=-k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解．

解答 解：∵sinA和sinB是方程x²-$\sqrt{2}$x-k=0的两个根，
∴sinA+sinB=$\sqrt{2}$，sinA•sinB=-k，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sin²A+sin²B=1，
∴2+2k=1，
解得，k=-$\frac{1}{2}$．
∵sinA+sinB=$\sqrt{2}$，sinA•sinB=$\frac{1}{2}$，
∴sinA=sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A=∠B=45°．
故答案为45°，45°，-$\frac{1}{2}$．

点评 此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了锐角三角函数关系式．