Question

1．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，过点B作BE⊥AC，垂足为E，把△ABE沿AE翻折，得△APE．
（1）求PE的长；
（2）将△APE沿射线AC平移，设点A移动距离为x，平移后的图形与△ACD重合部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求得AB=10，再由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE=$\frac{1}{2}$AB•BC可得PE=BE的值；
（2）分三种情况：①0＜x≤$\frac{14}{5}$时，利用勾股定理求得A′E′=AE=$\frac{18}{5}$、AE′=x+$\frac{18}{5}$、ME′=AE′tan∠CAD=$\frac{3}{4}$（x+$\frac{18}{5}$），证△AJN∽△ADC、△A′JN∽△A′P′E′得$\frac{AJ}{NJ}$=$\frac{AD}{CD}$、$\frac{A′J}{A′E′}$=$\frac{NJ}{P′E′}$，设A′J=m、NJ=n，可由$\frac{x+m}{n}=\frac{8}{6}$、$\frac{m}{\frac{18}{5}}$=$\frac{m}{\frac{24}{5}}$得NJ=$\frac{12}{7}$x，根据S_重叠=S_△AE′M-S_△AA′N可得；
②$\frac{14}{5}$＜x≤$\frac{32}{5}$时，由AC=10、AA′=x知A′C=10-x，过点M作MK⊥A′C，由∠1=∠2=∠3=∠4知MA′=MC=10-x，从而得CK=$\frac{1}{2}$A′C=$\frac{10-x}{2}$、MK=CKtan∠4=$\frac{2}{3}$（10-x），由CE′=CE-EE′=$\frac{32}{5}$-x得NE′=CE′tan∠4=$\frac{4}{3}$（$\frac{32}{5}$-x），根据S_重叠=S_△A′CM-S_△CE′N可得；
③$\frac{32}{5}$＜x≤10时，A′C=AC-AA′，过点M作MK⊥A′C于点K，由②知MA′=MC即可得CK=$\frac{1}{2}$A′C=$\frac{1}{2}$（10-x），从而有MK=CMtan∠MCK=$\frac{2}{3}$（10-x），根据S_重叠=$\frac{1}{2}$A′C•MK可得答案．

解答 解：（1）∵AB=6、BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵BE⊥AC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE=$\frac{1}{2}$AB•BC，即$\frac{1}{2}$×10×BE=$\frac{1}{2}$×6×8，
解得：BE=$\frac{24}{5}$，
∵△ABE沿AE翻折得△APE，
∴PE=BE=$\frac{24}{5}$；

（2）①如图1，当0＜x≤$\frac{14}{5}$时，

∵AP=AB=6、PE=BE=$\frac{24}{5}$，
∴A′E′=AE=$\sqrt{A{P}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
则AE′=x+$\frac{18}{5}$，
∴ME′=AE′tan∠CAD=AE′×$\frac{CD}{AD}$=$\frac{6}{8}$（x+$\frac{18}{5}$）=$\frac{3}{4}$（x+$\frac{18}{5}$），
过点N作NJ⊥AC于点J，则∠NJA=∠CDA=∠P′E′A′，
∵∠JAN=∠DAC、∠JA′N=∠E′A′P′，
∴△AJN∽△ADC、△A′JN∽△A′P′E′，
∴$\frac{AJ}{NJ}$=$\frac{AD}{CD}$、$\frac{A′J}{A′E′}$=$\frac{NJ}{P′E′}$，
设A′J=m，NJ=n，
∴$\frac{x+m}{n}=\frac{8}{6}$、$\frac{m}{\frac{18}{5}}$=$\frac{m}{\frac{24}{5}}$，
解得：n=$\frac{12}{7}$x，即NJ=$\frac{12}{7}$x，
∴S_重叠=S_△AE′M-S_△AA′N=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{18}{5}$）•$\frac{3}{4}$（x+$\frac{18}{5}$）-$\frac{1}{2}$•x•$\frac{12}{7}$x=-$\frac{27}{56}$x²+$\frac{27}{10}$x+$\frac{241}{50}$；
②如图2，当$\frac{14}{5}$＜x≤$\frac{32}{5}$时，

∵AC=10、AA′=x，
则A′C=10-x，
过点M作MK⊥A′C，
∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∴MA′=MC=10-x，
则CK=$\frac{1}{2}$A′C=$\frac{10-x}{2}$，
∴MK=CKtan∠4=CK•$\frac{AD}{CD}$=$\frac{10-x}{2}$×$\frac{8}{6}$=$\frac{2}{3}$（10-x），
∵CE′=CE-EE′=CA-AE-EE′=10-$\frac{18}{5}$-x=$\frac{32}{5}$-x，
∴NE′=CE′tan∠4=CE′•$\frac{AD}{CD}$=（$\frac{32}{5}$-x）×$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{32}{5}$-x），
∴S_重叠=S_△A′CM-S_△CE′N=$\frac{1}{2}$×（10-x）•$\frac{2}{3}$（10-x）-$\frac{1}{2}$×（$\frac{32}{5}$-x）•$\frac{4}{3}$（$\frac{32}{5}$-x）=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{28}{15}$x+$\frac{452}{75}$；
③如图3，当$\frac{32}{5}$＜x≤10时，

∵A′C=AC-AA′，
∴过点M作MK⊥A′C于点K，
由②知MA′=MC，
∴CK=$\frac{1}{2}$A′C=$\frac{1}{2}$（10-x），
则MK=CMtan∠MCK=CM•$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{8}{6}$=$\frac{2}{3}$（10-x），
∴S_重叠=$\frac{1}{2}$A′C•MK=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{2}{3}$（10-x）=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{20}{3}$x+$\frac{100}{3}$；
综上，y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{27}{56}{x}^{2}+\frac{27}{10}x+\frac{241}{50}}&{（0＜x≤\frac{14}{5}）}\\{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{28}{15}x+\frac{452}{75}}&{（\frac{14}{5}＜x≤\frac{32}{5}）}\\{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{3}}&{（\frac{32}{5}＜x≤10）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查四边形的综合，考查的知识点有翻折的性质、平移的性质、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等，根据割补法求三角形面积利用解直角三角形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质得出所需线段的长度是解题的关键．