分析 (1)证明△OCD≌△OED得到∠OCD=∠OED=90°,然后根据切线的判定定理得到结论;
(2)过D作DF⊥AE于F,根据全等三角形的性质得到CD=DE=2,由等腰三角形的性质得到AF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{8}{5}$,根据勾股定理得到DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{6}{5}$,通过相似三角形的性质得到$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BC}$,代入数据即可得到结论.
解答 (1)证明:连接OE,∵点D为AC中点,点O为BC的中点,
∴OD为△CAB的中位线,
∴OD∥AB,
∴∠2=∠3,∠1=∠B,
而OB=OE,
∴∠3=∠B,
∴∠1=∠2,
在△OCD和△OED中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OE}\\{∠1=∠2}\\{OD=OD}\end{array}\right.$,
∴△OCD≌△OED,
∴∠OCD=∠OED=90°,
∴OE⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)过D作DF⊥AE于F,
∵△OCD≌△OED,
∴CD=DE=2,
∵AD=CD,
∴AD=DE,
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{8}{5}$,
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{6}{5}$,
∵∠AFD=∠ACB=90°∠A=∠A,
∴△ADF∽△ABC,
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BC}$,
∴BC=3,
∴圆O的半径=$\frac{3}{2}$.
点评 本题考查了切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | ab | B. | $\frac{1}{2}$ab | C. | $\frac{1}{2}$b2 | D. | $\frac{1}{2}$a2 |
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