Question

已知直线y=

1

2

x+

k

2

-3和y=-

1

3

x+

4k

3

+

1

3

的交点在第四象限内．
（1）求k的取值范围．
（2）若k为非负整数，点A的坐标为（2，0），在直线y=

1

2

x+

k

2

-3上是否存在一点P，使△PAO是以OA为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）联立两直线解析式求交点坐标，再根据第四象限点的坐标特点求k的取值范围；
（2）存在．根据若k为非负整数及k的取值范围，确定k的值，作线段OA的垂直平分线与直线y=

1

2

x+

k

2

-3相交，求交点坐标即可．

解答：解：（1）联立

y= 1 2 x+ k 2 -3 y=- 1 3 x+ 4k 3 + 1 3

，解得

x=k+4 y=k-1

，
∵两直线交点在第四象限，
∴

x=k+4＞0 y=k-1＜0

，解得-4＜k＜1；

（2）存在．
∵k为非负整数且-4＜k＜1，
∴k=0，直线y=

1

2

x+

k

2

-3解析式化为y=

1

2

x-3，
而线段OA的垂直平分线为x=1，
当x=1时，y=

1

2

x-3=-2

1

2

，
∴P（1，-2

1

2

）．

点评：本题考查了一次函数的综合运用，等腰三角形的判断及两直线交点坐标的求法．关键是列方程组求交点坐标，根据交点所在的象限确定k的取值范围．