Question

19．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（-4，3），顶点C的坐标为（-5，0），将菱形OABC沿边OA所在直线翻折，得到菱形OAB′C′，若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象刚好经过点C′，则k的值为$-\frac{168}{25}$．

Answer 1

分析 连接CC′，过点C′作C′E⊥OC，垂足为E．由点A的坐标可知：tan∠AOC=$\frac{3}{4}$，由锐角三角函数的定义可知求得CD=3，从而可得到CC′=6，然后在Rt△C′CE中依据锐角三角函数的定义可求得CE、C′E的长度，从而可求得点C′的坐标，于是可求得k的值．

解答 解：连接CC′，过点C′作C′E⊥OC，垂足为E．

∵点A的坐标为（-4，3）
∴tan∠AOC=$\frac{3}{4}$．
∴tan∠DCO=$\frac{4}{3}$．
由翻折的性质可知：CC′⊥AO，CD=C′D．
∴CD=OCsin∠COD=$5×\frac{3}{5}$=3．
∴CC′=6．
∴CE=CC′cos∠C′CE=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$，C′E=CC′sin∠C′CE=6×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$．
∴EO=OC-CE=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$．
∴点C′的坐标为（-$\frac{7}{5}$，$\frac{24}{5}$）．
k=$-\frac{7}{5}$×$\frac{24}{5}$=-$\frac{168}{25}$．
故答案为：-$\frac{168}{25}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质，锐角三角函数的定义，反比例函数，利用翻折的性质和锐角三角函数的定义求得点C′的坐标是解题的关键．