Question

如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）求证：OF=CD．

Answer 1

证明：（1）连接OE，
∵AM与圆O相切，
∴AM⊥OA，即∠OAD=90°，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，∠EOD=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠ABE=∠OEB，
∴∠AOD=∠OEB，
∴∠AOD=∠EOD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，
则DE为圆O的切线；

（2）在Rt△BCO和Rt△ECO中，
，
∴Rt△BCO≌Rt△ECO，
∴∠BOC=∠EOC，
∵∠AOD=∠EOD，
∴∠DOC=∠EOD+∠EOC=×180°=90°，
∵AM、BN为圆O的切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∵OF∥BN，
∴AM∥OF∥BN，
又O为AB的中点，
∴F为CD的中点，
则OF=CD．
分析：（1）连接OE，由AM与圆O相切，利用切线的性质得到OA与AM垂直，即∠OAD=90°，根据OD与BE平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，一对同位角相等，再由OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OA=OE，OD为公共边，利用SAS得出三角形AOD与三角形EOD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠OED=90°，即OE垂直于ED，即可得证；
（2）连接OC，由CD与CB为圆的切线，利用切线的性质得到一对直角相等，由OB=OE，OC为公共边，利用HL得出两直角三角形全等，进而得到∠BOC=∠EOC，利用等量代换及平角定义得到∠COD=90°，即三角形COD为直角三角形，由OF与BN平行，AM与BN平行，得到三线平行，由O为AB的中的，利用平行线等分线段定理得到F为CD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证．
点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．