练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题--如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B 的值最小．
    解答问题：
    （1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
    （2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．
    ①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？
    ②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．
    精英家教网
    分析：（1）延长AO交圆于M，连接CM交OB于P，连接AC，求出∠ACM、∠M，求出AC、根据勾股定理求出PM即可；
    （2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；
    ②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（
    		3
    ，0）以及到B的解析式．
    解答：解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，
    则此时AP+PC=PC+PM=CM最小，
    ∵AM是直径，∠AOC=60°，
    ∴∠ACM=90°，∠AMC=30°，
    ∴AC=
    1
    2
    AM=2，AM=4，由勾股定理得：CM=
    		AM2-AC2
    =2
    		3
    ．
    答：PA+PC的最小值是2
    		3
    ．

    （2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，
    即为使点P能在最短的时间内到达点B处，
    ∴当PB⊥AB时，符合题意，
    ∵菱形ABCD，AB=6，∠DAB=60°，
    ∴∠BAO=30°，AB=AD，AC⊥BD，
    ∴△ABD是等边三角形，
    ∴BD=6，BO=3，由勾股定理得：AO=3
    		3
    ，
    在Rt△APB中，AB=6，∠BAP=30°，BP=
    1
    2
    AP，由勾股定理得：AP=4
    		3
    ，BP=2
    		3
    ，
    ∴点M的位置是（
    		3
    ，0）时，用时最少．
    ②当0＜t≤3
    		3
    时，AP=2t，
    ∵菱形ABCD，
    ∴∠OAB=30°，
    ∴OB=
    1
    2
    AB=3，
    由勾股定理得：AO=CO=3
    		3
    ，
    ∴S=
    1
    2
    AP×BO=
    1
    2
    ×2t×3=3t；
    ③当3
    		3
    ＜t≤4
    		3
    时，AP=6
    		3
    -（2t-6
    		3
    ）=12
    		3
    -2t，精英家教网
    ∴S=
    1
    2
    AP×BO=
    1
    2
    ×（12
    		3
    -2t）×3=18
    		3
    -3t．
    当4
    		3
    ＜t≤6
    		3
    时，
    S=
    1
    2
    AB×BP=
    1
    2
    ×6×[2
    		3
    -（t-4
    		3
    ）]=-3t+18
    		3
    ，
    答：S与t之间的函数关系式是当3
    		3
    ＜t≤4
    		3
    时，S=18
    		3
    -3t；当0＜t≤3
    		3
    时，S=3t．
    当4
    		3
    ＜t≤6
    		3
    时，S=-3t+18
    		3
    ．
    点评：本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称-最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    仔细阅读以下内容解决问题：
    偏微分方程，对于多个变量的求最值问题相当有用，以2001年全国联赛第二试第一题为例给同学们作一介绍，问题建立数学模型后实际上是求：
    y=5a2+6ab+3b2-30a-20b+46的最小值，先介绍求导公式，（xn）′=nxn-1，a′=0（a为常数），当ya′=10a+6b-30=0，yb′=6a+6b-20=0时，可取得最小值（ya′的意思是关于a求导，把b看作常数，（5a2）′=10a，（6ab）′=6b，（3a2-20b+46）′=0）．解方程，得a=
    5
    2
    ，b=
    5
    6
    ，代入可得y=
    1
    6
    ，即是最小值．
    同学们：以上内容很有挑战性，确保读懂后请解答下面问题：运用阅读材料中的知识求s=4x2+2y2+4xy-12x-8y+17的最小值
    7
    7
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2011年江苏省无锡市滨湖区中考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

    阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题--如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B 的值最小．
    解答问题：
    （1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
    （2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．
    ①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？
    ②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：河北省模拟题 题型：解答题

    阅读以下的材料：
    如果两个正数a，b，即a>0，b>0，有下面的不等式：
    当且仅当a=b时取到等号
    我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具。下面举一例子：
    例：已知x>0，求函数的最小值。
    解：令a=x，b=，则有，得，当且仅当时，即x=2时，函数有最小值，最小值为2。
    根据上面回答下列问题：
    ①已知x>0，则当x=____时，函数取到最小值，最小值为____；
    ②用篱笆围一个面积为100m2的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆周长是多少；
    ③已知x>0，则自变量x取何值时，函数取到最大值，最大值为多少？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读以下的材料：   

     如果两个正数，即，有下面的不等式：

              当且仅当时取到等号

    我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具。下面举一例子：

    例：已知，求函数的最小值。

    解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为。

    根据上面回答下列问题

    ①     已知，则当         时，函数取到最小值，最小值

    为          ；

    ②     用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所

    用的篱笆最短，最短的篱笆周长是多少；

    ③． 已知，则自变量取何值时，函数取到最大值，最大值为多少？

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案