Question

【题目】如图，在中， ，点为边上一点， ，且,点关于直线的对称点为，连接，又的边上的高为.

（1）判断直线是否平行？并说明理由；

（2）证明： .

Answer 1

【答案】(1) ,理由见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先根据轴对称的性质得出PC＝PD，AD＝AC，∠APC＝∠APD，再根据三角形外角的性质求出∠APC＝60°，进而求出∠BPD＝60°，由条件可得BP＝PD，取DP的中点E，易证△BPE为等边三角形，根据等边三角形的性质和三角形外角的性质求出∠DBE＝30°，进而求出∠DBP＝90°，根据平行线的判定即可得出结论；

（2）作ΔADP的PD边上的高为AF，又作AG⊥BD交BD的延长线于G，根据对称性得出AF＝AH，再求得∠GBA＝45°，证明△AGB≌△AHB，得出AG＝AH＝AF，根据角平分线的判定得出AD平分∠GDP，进而求得∠GDA＝75°，再根据对称性求得∠CAH＝∠DAF＝∠GAD＝15°，从而得出结论．

试题解析：

解：（1）BD//AH．

证明：∵点C关于直线PA的对称点为D，

∴PC＝PD，AD＝AC，∠APC＝∠APD．

又∵ ∠ABC＝45°，∠PAB＝15°，

∴∠APC＝∠ABC＋∠PAB＝60°，

∴∠DPB＝180°－∠DPA－∠APC＝60°．

∵BC＝3BP，∴BP＝PC，

∴BP＝PD；

取PD的中点E，连接BE，则PE＝PB，

∴△BPE为等边三角形，

∴BE＝PE＝DE，

∴∠DBE＝∠BDE＝∠BEP＝30°．

∴∠DBP＝∠DBE＋∠EBP＝90°．

又∵ AH⊥PC，∴∠AHC＝90°，

∴∠DBP＝∠AHC，∴DB//AH；

（2）证明：作ΔADP的PD边上的高为AF，又作AG⊥BD交BD的延长线于G，

由对称性知，AF＝AH．

∵∠GBA＝∠GBC－∠ABC＝45°，

∴∠GBA＝∠HBA＝45°，

∴AG＝AH，

∴AG＝AF，

∴AD平分∠GDP，

∴∠GDA＝∠GDP＝ (180°－∠BDP) ＝75°．

∴∠CAH＝∠DAF＝∠GAD＝90°－∠GDA＝15°，

∵∠BAP＝15°，

∴∠BAP＝∠CAH．