Question

1．在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），延长CB交x轴于点A₁，作第2个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第3个正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2个正方形的面积为45；第2015个正方形的面积为20×$（\frac{9}{4}）$²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 根据：$\frac{B{A}_{1}}{AB}=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，同理可证：$\frac{{B}_{1}{A}_{2}}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，找到规律求出第n个正方形边长即可解决问题．

解答 解：∵∠DAO+∠BAA₁=90°，∠BAA₁+∠BA₁A=90°，OD=4，OA=2，
∴∠DAO=∠AA₁B，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴$\frac{DO}{AB}=\frac{OA}{B{A}_{1}}$，
∴$\frac{B{A}_{1}}{AB}=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，
同理可证：$\frac{{B}_{1}{A}_{2}}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$…
∴第一个正方形边长为2$\sqrt{5}$，
第二个正方形边长为2$\sqrt{5}$×$\frac{3}{2}$，
第三个正方形边长为2$\sqrt{5}$×（$\frac{3}{2}$）²
…
第n个正方形边长为2$\sqrt{5}$×（$\frac{3}{2}$）^n-1，
∴第二个正方形边长为3$\sqrt{5}$，面积为45．
第2015个正方形边长为2$\sqrt{5}$×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴，面积为20×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁴．
故答案分别为45，20×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁴．

点评 本题考查勾股定理、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握从特殊到一般的推理方法是解决问题的关键．