Question

2．已知，经过点A（0，$\frac{5}{2}$）的直线y=kx+b与直线y=-$\frac{1}{2}$x互相平行，且与x轴相交于点B．
（1）求这条直线的解析式；
（2）若点P（1，m）在直线y=kx+b的图象上，试判定△POB的形状．

Answer 1

分析 （1）根据经过点A（0，$\frac{5}{2}$）的直线y=kx+b与直线y=-$\frac{1}{2}$x互相平行，即可得到k，b的值；
（2）先求得P（1，2），B（5，0），进而得到OP²+BP²=OB²，即可得出△POB是直角三角形．

解答 解：（1）∵直线y=kx+b与直线y=-$\frac{1}{2}$x互相平行，
∴k=-$\frac{1}{2}$，
把点A（0，$\frac{5}{2}$）代入直线y=$-\frac{1}{2}$x+b，可得b=$\frac{5}{2}$，
∴这条直线的解析式为y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；

（2）∵P（1，m）在直线y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$的图象上，
∴m=-$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$=2，
即P（1，2），
∴OP=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵在直线y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$中，令y=0，则x=5，
∴B（5，0），
即OB=5，
∴OP²+BP²=25，OB²=25，
∴OP²+BP²=OB²，
∴△POB是直角三角形．

点评 本题主要考查了两直线相交问题以及勾股定理的逆定理的运用，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．