Question

【题目】某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数y＝－10x＋600，商场销售该商品每月获得利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？
（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该商品，商场销售新产品，每月的销量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品的成本每件32元，若新产品每月的销售量不低于200件时，政府部门给予每件4元的补贴，试求定价多少元时，每月销售新产品的利润最大？求出最大的利润。

Answer 1

【答案】
（1）解：w=（x﹣30）（﹣10x+600）=﹣10x2+900x﹣18000
（2）解：由题意得，﹣10x2+900x﹣18000=2000，解得：x1=40，x2=50，当x=40时，成本为30×（﹣10×40+600）=6000（元），当x=50时，成本为30×（﹣10×50+600）=3000（元），∴每月想要获得2000元的利润，每月成本至少3000元
（3）解：当y＜200时，即：﹣10x+600＜200，解得：x＞40，w=（x﹣32）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣46）2+1960，∵a=﹣10＜0，x＞40，∴当x=46时，w最大值=1960（元）；
当y≥200时，即：﹣10x+600≥200，解得：x≤40，w=（x﹣32+4）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣44）2+2560，∵a=﹣10＜0，∴抛物线开口向下，当32＜x≤40时，w随x的增大而增大，∴当x=40时，w最大值=2400（元），∵1960＜2400，∴当x=40时，w最大．
答：定价每件40元时，每月销售新产品的利润最大，最大利润为2400元．
【解析】（1）利用利润法则：单件利润销量=利润，可列出函数表达式；（2）根据函数关系式的特殊值，列出方程，解方程求出结果；（3）根据销量进行分类讨论，分别列出分段函数，在自变量的取值范围内，根据二次函数的单调性，求出最值.