Question

10．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，OA=2，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$
• C． π-$\sqrt{3}$
• D． $\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积-三角形OCD的面积，列式计算即可求解．

解答 解：过O点作OE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，
∵OA=2，∴⊙O的半径为1，
∴OE=$\frac{1}{2}$，CE=DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CD=2CE=$\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的面积为：$\frac{120•π•{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD的面积-三角形OCD的面积．