A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
分析 根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时,F点和D点重合,此时G点为AC中点,故①错误;求得∠BAE=∠CBF,根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠C=90°,然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等,根据全等三角形对应角相等可得AE=BF,判断出②正确;根据题意,G点的轨迹是以AB中点O为圆心,AO为半径的圆弧,然后求出弧的长度,判断出③错误;由于OC和OG的长度是一定的,因此当O、G、C在同一条直线上时,CG取最小值,根据勾股定理求出最小CG长度.
解答 解:∵在正方形ABCD中,BF⊥AE,
∴∠AGB保持90°不变,
∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心,AO为半径的圆弧,
∴当E移动到与C重合时,F点和D点重合,此时G点为AC中点,
∴AG=GE,故①错误;
∵BF⊥AE,
∴∠AEB+∠CBF=90°,
∵∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE和△BCF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF}\\{∠ABE=∠BCF=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴故②正确;
∵当E点运动到C点时停止,
∴点G运动的轨迹为$\frac{1}{4}$圆,
圆弧的长=$\frac{1}{4}$π×2=$\frac{1}{2}$π,故③错误;
由于OC和OG的长度是一定的,因此当O、G、C在同一条直线上时,CG取最小值,
OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
CG的最小值为OC-OG=$\sqrt{5}$-1,故④正确;
综上所述,正确的结论有②④.
故选C.
点评 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,弧长的计算,勾股定理的应用,熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键,此题求运动轨迹有一定的难度.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 100° | B. | 105° | C. | 115° | D. | 120° |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 逐渐变短 | B. | 先变短后变长 | C. | 先变长后变短 | D. | 逐渐变长 |
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