Question

4．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是BC的中点，AE=CE，∠BAC=3∠CBD，BD=6$\sqrt{2}$+6$\sqrt{6}$，则AB的长为（　　）

• A． 6
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 12
• D． 10$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作DF⊥BC于F，根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，求出∠CBD的度数，进而判断出△ACD是等边三角形，设AB=a，在Rt△BDF中利用直角三角形的性质求出DF的长，用a表示出CF的长，再根据勾股定理即可得出a的值，进而得出答案．

解答 解：
作DF⊥BC于F，
∵AB=AC=AD，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵AE=CE，BE=EC，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BAC=3∠CBD，
∴∠DBC=30°，∠ABD=15°，
∴∠BAD=180°-15°-15°=150°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD=60°，
∵AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AB=AC=AD=CD，
设AB=a，则BC=$\sqrt{2}$a，AC=AD=CD=a，
在Rt△BDF中，
∵∠DBF=30°，BD=6$\sqrt{2}$，
∴DF=$\frac{BD}{2}$=3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{6}$，BF=BD•cos∠CBD=（6$\sqrt{2}$+6$\sqrt{6}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{6}$+9$\sqrt{2}$，
∴CF=BF-BC=3$\sqrt{6}$+9$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$a，
在Rt△CDF中，由勾股定理可得CF²+DF²=CD²，
即（3$\sqrt{6}$+9$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$a）²+（3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{6}$）²=a²，解得a=12，
故选C．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出含30度角的直角三角形，根据直角三角形的性质进行解答．