【题目】已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0.
(1)若b=2m﹣1,m+c=﹣6,判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的非零实数根,且b2﹣c2﹣4=0,求此时方程的根.
【答案】(1)有两个不相等的实数根;(2)x1=x2=﹣
【解析】
(1)由m+c=﹣6,可得出c=﹣m﹣6,根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=4m2+25,结合m2≥0可得出△>0,进而可得出该方程有两个不相等的实数根;
(2)根据根的判别式△=0,即可得出b2=4c,结合b2﹣c2﹣4=0可得出b,c的值,再解一元二次方程即可得出结论.
解:(1)∵m+c=﹣6,
∴c=﹣m﹣6,
∴△=(2m﹣1)2﹣4×(﹣m﹣6)=4m2+25.
∵m2≥0,
∴4m2+25>0,即△>0,
∴该方程有两个不相等的实数根.
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4c=0,
∴b2=4c.
∵b2﹣c2﹣4=0,
∴b=±2,c=2,
当b=﹣2,c=2时,原方程为x2﹣2x+2=0,
解得:x1=x2=;
当b=2,c=2时,原方程为x2+2x+2=0,
解得:x1=x2=﹣.
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【题目】知识背景:当a>0且x>0时,因为≥0,所以,从而≥(当x=时取等号).
设函数=(>0,x>0),由上述结论可知,当x=时,该函数有最小值为.
应用举例:已知函数=x(x>0)与函数=(x>0),则当x==2时,=有最小值为=4.
解决问题:
(1)已知函数=(x>-3)与函数=(x>-3),当x为何值时,有最小值?最小值是多少?
(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:一是设备的安装调试费用,共490元;二是设备的租赁使用费用,每天200元;三是设备的折旧费用,它与使用天数的平方成正比,比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天,则当x取何值时,该设备平均每天的租赁使用成本最低?最低是多少元?
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【题目】如图,等腰中,,,且AC边在直线a上,将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点,此时;将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②,可得到点,此时;将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③,可得到点,此时 ________,…,按此规律继续旋转,直至得到点为止,则________.
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【题目】如图,割线ABC与⊙O相交于B、C两点,D为⊙O上一点,E为弧BC的中点,OE交BC于F,DE交AC于G,∠ADG=∠AGD.
(1)求证明:AD是⊙D的切线;
(2)若∠A=60°,⊙O的半径为4,求ED的长.
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【题目】如图,抛物线过A(1,0)、B(﹣3,0),C(0,﹣3)三点,直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为﹣2,点P(m,n)是线段AD上的动点,过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q.
(1)求直线AD及抛物线的解析式;
(2)求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点R的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°,我们称这样的凸四边形为“完美四边形”.
(1)①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中,一定不是“完美四边形”的有 ;
②若矩形ABCD是“完美四边形”,且AB=4,则BC= ;
(2)如图1,“完美四边形”ABCD内接于⊙O,AC与BD相交于点P,且对角线AC为直径,AP=1,PC=5,求另一条对角线BD的长;
(3)如图2,平面直角坐标系中,已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A(﹣3,0)、C (2,0),B在第三象限,D在第一象限,AC与BD交于点O,直线BD的斜率为,且四边形ABCD的面积为15,若二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)的图象同时经过这四个顶点,求a的值.
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【题目】作图题:(保留作图痕迹,不写做法)
(1)已知:如图,四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称,试画出它们的对称中心O。
(2)考古学家在考古过程中发现一个圆盘,但是因为历史悠久,已经有一部分缺失,如图所示.现希望复原圆盘,需要先找到圆盘的圆心,才能继续完成后续修复工作.请利用直尺(无刻度)和圆规,在图中找出圆心O.
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【题目】在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球,把它们充分搅匀.
(1)“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件,“从中任意抽取1个球是黑球”是 事件;
(2)从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ;
(3)学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言,制定如下规则:从盒子中任取两个球,若两球同色,则选甲;若两球异色,则选乙.甲、乙两名同学被选中的概率各是多少?你认为这个规则公平吗?
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