Question

16．如图1，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD=6，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（-2，2），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D．
（1）D点坐标为（4，2），k=8．
（2）①平行四边形ABCD的顶点B是否在反比例函数的图象上？为什么？
②如图2，连接BD并延长，设直线BD解析式为y=k₁x，根据图象直接写出不等式k₁x$＜\frac{k}{x}$的x的取值范围；
（3）是否存在两点P、Q分别在反比例函数图象的两支上，使得四边形AQCP是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用平行于x轴的直线纵坐标相等，再用距离即可确定出点D的坐标，最后用待定系数法即可求出k；
（2）①利用平行四边形的性质得出点B的坐标，即可判断点B是否在双曲线上；
②利用图象直接求出即可；
（3）利用菱形的性质得出直线PQ的解析式，利用点P，Q在双曲线上即可求出点P，Q的坐标．

解答 解：∵AD∥x轴，AD=6，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（-2，2），
∴D（4，2），
∵点D在双曲线上，
∴k=4×2=8，
故答案为（4，2），8；

（2）①平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图形上，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且原点是对角线AC的中点，
∴点B于点D关于原点对称，
∴B（-4，-2），
当x=-4时，y=$\frac{8}{-4}$=-2，
∴平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图形上；

②∵B（-4，-2），D（4，2），
∴由图象知，0＜x＜4或x＜-4

（3）存在，
理由：如图，∵四边形AQCP是菱形，
∴AC⊥PQ，
∴直线PQ为第一、三象限的角平分线，
∴直线PQ的解析式为y=x，
设点P（a，a），
∴Q（-a，-a），
∵点P，Q在反比例函数的图象上，
∴a=$\frac{8}{a}$，
∴a=±2$\sqrt{2}$，
∴P（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），Q（-2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$）或P（-2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$），Q（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，菱形的性质，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是判断出点B，D关于原点对称，解（3）的关键是确定出直线PQ的解析式，是一道中考常考题．