Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，CD＝CB，过点C作∠DCB的平分线CE交AB于点E，连接DE，过点D作DF//AB，且交CE于F点，连接BF．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）若AB＝5，BC＝13，求tan∠AED的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）tan∠AED=．

【解析】

（1）证明△CDE≌△CBE，根据全等三角形的性质得到ED＝EB，∠DEC＝∠BEC，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到DE＝DF，根据菱形的判定定理证明；

（2）根据矩形的性质得到∠BGD＝90°，DG＝AB＝5，AD＝BG，根据勾股定理求出GC，求出AD，根据勾股定理列方程求出AE，根据正切的定义计算，得到答案．

解：（1）证明：∵CE平分∠DCB，

∴∠DCE＝∠BCE，

在△CDE和△CBE中，

∴△CDE≌△CBE（SAS），

∴ED＝EB，∠DEC＝∠BEC，

∵DF//AB，

∴∠DFE＝∠BEC，

∴∠DFE＝∠DEC，

∴DE＝DF，

∴DF＝BE，又DF//AB，DE＝DF，

∴四边形DEBF为菱形；

（2）∵AD//BC，AB//DF，

∴四边形ABGD为平行四边形，

∵∠A＝90°，

∴四边形ABGD为矩形，

∴∠BGD＝90°，DG＝AB＝5，AD＝BG，

在Rt△DGC中，GC＝＝12，

∴AD＝BG＝BC﹣GC＝13﹣12＝1，

设AE＝x，则DE＝BE＝5﹣x，

在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即(5﹣x)2＝x2+12，

解得，x＝，

∴tan∠AED＝＝．