Question

如图，在△ABC中，∠C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AB=20，求△ABC的两锐角及AD、DE、EB各为多少？

Answer 1

分析：先求出∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=EB，根据等边对等角可得∠B=∠ECB，然后根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再求出AD，然后求出DE即可．

解答：解：∵∠C为直角，CD、CE恰好把∠ACB三等分，
∴∠ACD=∠DCE=∠ECB=

1

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×90°=30°，
∵CD是高，
∴∠A=90°-∠ACD=90°-30°=60°，
∵CE是中线，
∴CE=AE=EB=

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2

AB=

1

2

×20=10，
∴∠B=∠ECB=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×20=10，
AD=

1

2

AC=

1

2

×10=5，
DE=AE=AD=10-5=5．
综上所述：∠A=60°，∠B=30°，AD=5，DE=5，EB=10．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．