如图,已知直角坐标平面上的△ABC,AC=CB,∠ACB=90°,且A(﹣1,0),B(m,n),C(3,0).若抛物线y=ax2+bx﹣3经过A、C两点.
(1)求a、b的值;
(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B,求新抛物线的解析式;
(3)设(2)中的新抛物的顶点P点,Q为新抛物线上P点至B点之间的一点,以点Q为圆心画图,当⊙Q与x轴和直线BC都相切时,联结PQ、BQ,求四边形ABQP的面积.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣3经过A(﹣1,0)、C(3,0),
∴,
解得:;
(2)设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B,
则新抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3+k,
∵A(﹣1,0)、C(3,0),
∴CB=AC=3﹣(﹣1)=4,
∵∠ACB=90°,∴点B的坐标为(3,4).
∵点B(3,4)在抛物线y=x2﹣2x﹣3+k上,
∴9﹣6﹣3+k=4,
解得:k=4,
∴新抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1;
(3)设⊙Q与x轴相切于点D,与直线BC相切于点E,连接QD、QE,如图所示,
则有QD⊥OC,QE⊥BC,QD=QE,
∴∠QDC=∠DCE=∠QEC=90°,
∴四边形QECD是矩形.
∵QD=QE,
∴矩形QECD是正方形,
∴QD=DC.
设点Q的横坐标为t,
则有OD=t,QD=DC=OC﹣OD=3﹣t,
∴点Q的坐标为(t,3﹣t).
∵点Q在抛物线y=x2﹣2x+1上,
∴t2﹣2t+1=3﹣t,
解得:t1=2,t2=﹣1.
∵Q为抛物线y=x2﹣2x+1上P点至B点之间的一点,
∴t=2,点Q的坐标为(2,1),
∴OD=2,QD=CD=1.
由y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2得顶点P的坐标为(1,0),
∴OP=1,PD=OD﹣OP=2﹣1=1,
∴S四边形ABQP=S△ACB﹣S△PDQ﹣S梯形DQBC
=AC•BC﹣PD•QD﹣(QD+BC)•DC
=×4×4﹣×1×1﹣×(1+4)×1
=5,
∴四边形ABQP的面积为5.
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小佳的老板预计订购5盒巧克力,每盒颗数皆相同,分给工作人员,预定每人分15颗,会剩余80颗,后来因经费不足少订了2盒,于是改成每人分12颗,但最后分到小佳时巧克力不够分,只有小佳拿不到12颗,但她仍分到3颗以上(含3颗).请问所有可能的工作人员人数为何?请完整写出你的解题过程及所有可能的答案.
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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是( )
A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x= C. 当x<,y随x的增大而减小 D. 当﹣1<x<2时,y>0
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设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数解析式为
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如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,对称轴是直线x=1.
①b2>4ac;
②4a﹣2b+c<0;
③不等式ax2+bx+c>0的解集是x≥3.5;
④若(﹣2,y1),(5,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2.
上述4个判断中,正确的是( )
A. ①② B.①④ C.①③④ D. ②③④
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如果将抛物线y=x2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是( )
A. y=x2﹣1 B.y=x2+1 C.y=(x﹣1)2 D. y=(x+1)2
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如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2),D(1,﹣2).把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. (﹣1,0) B.(1,﹣2) C.(1,1) D. (﹣1,﹣1)
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如图所示,长方形ABCD各边均与坐标轴平行或垂直,已知A、C两点的坐标为A(,﹣1)、C(﹣,1).
(1)求B、D两点的坐标;
(2)求长方形ABCD的面积;
(3)将长方形ABCD先向左平移个单位,再向下平移一个单位,所得四边形的四个顶点的坐标分别是多少?
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