如图.已知抛物线经过点A三点．(1)求抛物线的解析式,(2)点M是线段BC上的点.过点M作MN∥y轴交抛物线于点N.若点M的横坐标为m.连接NB.NC.是否存在m.使△BNC的面积最大?若存在.求m的值.若不存在.说明理由．的条件下.直线MN交x轴于点D.E(t.0)是x轴上一动点.F是线段ND上一点.当△BNC的面积最大时.是否存在t.使∠EFC=90°?若存在.求出t的取值范围,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．

如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交抛物线于点N，若点M的横坐标为m，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值，若不存在，说明理由．
（3）在（2）的条件下，直线MN交x轴于点D，E（t，0）是x轴上一动点，F是线段ND上一点，当△BNC的面积最大时，是否存在t，使∠EFC=90°？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

分析（1）由抛物线过点A、B可设该抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标即可求出a值，从而得出抛物线的解析式；
（2）假设存在，根据点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点M的横坐标m，用含m的代数式表示出点M、N的坐标，通过分割三角形求面积法即可用含m的二次函数表示出△BNC的面积，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）结合（2）找出点M、N的坐标，过点C作CG⊥ND于点G．分点F在线段NG和DG上两种情况求t的值，①当点F在线段NG上时，可通过勾股定理求出t的最大值；②当点F在线段DG上时，通过相似三角形的性质找出t的最小值．综上即可得出结论．

解答解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），
∴设该抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点C（0，3）代入y=a（x+1）（x-3）中得：
3=a×（0+1）（0-3），解得：a=-1，
∴该抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．
（2）假设存在．设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵点B（3，0），C（0，3）在直线y=kx+b上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
∵点M的横坐标为m，MN∥y轴，
∴点M的坐标为（m，3-m）（0＜m＜3），点N的坐标为（m，-m²+2m+3），
∴线段MN=-m²+2m+3-（3-m）=-m²+3m．
S_△BNC=$\frac{1}{2}$MN•OB=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S_△BNC取最大值，最大值为$\frac{27}{8}$．
故存在m，使△BNC的面积最大，此时m=$\frac{3}{2}$，S_△BNC的最大值为$\frac{27}{8}$．
（3）假设存在．
由（2）可知，点M、N的横坐标为$\frac{3}{2}$，分别代入y=-x+3，y=-x²+2x+3中，
得点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），点N的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
过点C作CG⊥ND于点G．
①当点F在线段NG上时，点F与点N重合时，点E的横坐标最大，如图1所示．

由两点间的距离公式可知：
CF²=$（\frac{3}{2}-0）^{2}+（\frac{15}{4}-3）^{2}$=$\frac{45}{16}$，EF²=$（t-\frac{3}{2}）^{2}+（0-\frac{15}{4}）^{2}$=t²-3t+$\frac{261}{16}$，EC²=（t-0）²+（0-3）²=t²+9，
在Rt△EFC中，CF²+EF²=EC²，即$\frac{45}{16}$+t²-3t+$\frac{261}{16}$=t²+9，
解得：t=$\frac{27}{8}$，即t的最大值为$\frac{27}{8}$；
②当点F在线段DG上时，如图2所示．

设FG=x（0＜x＜3），则DF=3-x，
根据同角的余角相等，得∠FCG=∠EFD，
∴△FCG∽△EFD，
∴$\frac{FG}{ED}=\frac{CG}{FD}$，即$\frac{x}{DE}=\frac{\frac{3}{2}}{3-x}$，
∴DE=$\frac{2}{3}$x（3-x）=-$\frac{2}{3}$$（x-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，DE取最大值$\frac{3}{2}$，此时对应的t值最小，最小值为0．
综上可知：当△BNC的面积最大时，存在t，使∠EFC=90°，t的取值范围为0≤t≤$\frac{27}{8}$．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、分割图形法求面积以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用分割图形法求三角形的面积；（3）分情况寻找t的最值．本题属于中档题，（1）（2）相对简单；（3）有点难度，再解决该问时，通过分段寻找临界点，求出t值的最大与最小值，从而得出t的取值范围．

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