Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中满足方程组．

（1）若点到轴的距离为6，则的值为_________；

（2）连接，线段沿轴方向向上平移到线段，则点到直线的距离为_______，线段扫过的面积为15，则点平移后对应点的纵坐标为_______；

（3）连接，，，若的面积小于等于12，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）5；5；（3）且

【解析】

（1）利用点到坐标轴的距离的特点即可求出d的值；

（2）根据方程组求出a-b=5，进而根据平移的性质，得出AA'=BB'，再用面积公式即可求出点到直线的距离和点B沿轴方向向上平移后B'的纵坐标；

（3）分四种情况，利用面积的和差表示出△ABC的面积，进而建立不等式求解即可．

解：（1）点C的坐标为（c，d）且到x轴的距离为6，
∴|d|=6，
∴d=±6，
故答案为：±6；

（2）如图1，

∴①+②得，3a-3b=15，
∴a-b=5，

∴b=a-5；
∴AD=a-b=5，即点到直线的距离为5，

设平移后B的对应点B'（b，m），
∴AA'=BB'=|m-2|，
∵线段AB扫过的面积为15，
∴15=SAA'B'B=AA'×（a-b）=|m-2|×5
∴m=5或m=-1（向上平移，舍去），
∴平移后B点的坐标B'的纵坐标为5，

故答案为：5，5；

（3）由（2）可得，

2×②-①得，3a-3c=-6，
∴a-c=-2，
∴c=a+2，即AE=2，

如图2，

①当点C在x轴上方时，此时d＞0，
过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CF⊥x轴交x轴于E，BA的延长线于F，

∴BD∥EF，
∴△ADB∽△AEF，

,

,

∵DE=AD+AE=7，BD=2，C（c，d），
∴CE=d，
∴S△ABC=S梯形BDEC-S△ABD-S△ACE

∵△ABC的面积小于等于12，
∴0＜S△ABC≤12，

，

∴

又∵d＞0，

∴；

②当点C在直线AB下方时，此时，如图3，

过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CF⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥CE于F，

S△ABC=S△BCF-S梯形AEFB-S△ACE

∵△ABC的面积小于等于12，
∴0＜S△ABC≤12，

,

；

③当点C在直线AB上方，在x轴下方时，此时，如图4

∵EF//BD，

∴△HBD∽△HCE，

∴,

设AH=m，则HE=2-m,HD=5+m，

∴，解得，

=

=

=

=，

∵△ABC的面积小于等于12，
∴0＜S△ABC≤12，

,

∴

又∵，

∴；

④当C在直线AB上时，A、B、C不构成三角形，舍去，即，

当C在x轴上时，，符合题意，此时d=0，

综上所述，d的取值范围为且．