Question

15．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB=$\frac{2}{3}$，BD=5，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由圆周角定理得出∠1=∠2．证出∠C=∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD=90°，得出∠BAC=90°，即可得出结论．
（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出$sinB=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，设AD=2m，则AB=3m，由勾股定理求出BD=$\sqrt{5}$m．求出m=$\sqrt{5}$．得出AD=$2\sqrt{5}$，AB=$3\sqrt{5}$．证出FG=FD．设BF=x，则FG=FD=5-x．由三角函数得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：连接AD，如图1所示．
∵E是弧BD的中点，
∴$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，
∴∠1=∠2．
∴∠BAD=2∠1．
∵∠ACB=2∠1，
∴∠C=∠BAD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠C=∠BAD，
∴∠DAC+∠BAD=90°．
∴∠BAC=90°．
即AB⊥AC．
又∵AC过半径外端，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，$sinB=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，
设AD=2m，则AB=3m，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$m．
∵BD=5，
∴m=$\sqrt{5}$．
∴AD=$2\sqrt{5}$，AB=$3\sqrt{5}$．
∵∠1=∠2，∠ADB=90°，
∴FG=FD．
设BF=x，则FG=FD=5-x．
在Rt△BGF中，∠BGF=90°，$sinB=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{5-x}{x}=\frac{2}{3}$．
解得：=3．
∴BF=3．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理，由三角函数得出方程是解决问题（2）的关键．