【题目】将抛物线c1: 沿x轴翻折,得到抛物线c2 , 如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:y= x2﹣
(2)
解:①如图1,令﹣ x2+
=0,得x1=﹣1,x2=1
则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为(﹣1,0),(1,0).
∴A(﹣1﹣m,0),B(1﹣m,0).
同理可得:D(﹣1+m,0),E(1+m,0).
当AD= AE时,
(﹣1+m)﹣(﹣1﹣m)= [(1+m)﹣(﹣1﹣m)],
∴m= .
当BD= AE时,
(﹣1+m)﹣(1﹣m)= [(1+m)﹣(﹣1﹣m)],
∴m=2.
故当B,D是线段AE的三等分点时,m= 或2.
②存在.
理由:如图2,连接AN,NE,EM,MA.
依题意可得:M(﹣m, ),N(m,﹣
).
即M,N关于原点O对称,
∴OM=ON.
∵A(﹣1﹣m,0),E(1+m,0),
∴A,E关于原点O对称,
∴OA=OE
∴四边形ANEM为平行四边形.
∵AM2=(﹣m+1+m)2+( )2=4,
ME2=(1+m+m)2+( )2=4m2+4m+4,
AE2=(1+m+1+m)2=4m2+8m+4,
若AM2+ME2=AE2,则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4,
∴m=1,
此时△AME是直角三角形,且∠AME=90°.
∴当m=1时,以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形.
【解析】(1)根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式;(2)①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标,分当AD= AE时,当BD=
AE时两种情况讨论求解;②存在.理由:如图2,连接AN,NE,EM,MA.根据矩形的判定即可得出.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】如图,将△AB C沿DE,EF翻折,顶点A,B均落在点O处,且EA与EB重合于线段EO,若∠CDO+∠CFO=98°,则∠C的度数为( )
A. 40° B. 41° C. 42° D. 43°
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【题目】A,B两点在数轴上的位置如图所示,其中O为原点,点A对应的有理数为﹣4,点B对应的有理数为6.
(1)动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒(t>0).
①当t=1时,AP的长为 ,点P表示的有理数为 ;
②当PB=2时,求t的值;
(2)如果动点P以每秒6个单位长度的速度从O点向右运动,点A和B分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动,且三点同时出发,那么经过几秒PA=2PB.
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【题目】如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
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【题目】在义乌中小学生“我的中国梦”读书活动中,某校对部分学生作了一次主题为“我最喜爱的图书”的调查活动,将图书分为甲、乙、丙、丁四类,学生可根据自己的爱好任选其中一类。学校根据调查情况进行了统计,并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图如图。
“我最喜爱的图书”各类人数统计图
请你结合图中信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了 名学生;
(2)被调查的学生中,最喜爱丁类图书的有 名,最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的 %;
(3)在最喜爱丙类图书的学生中,女生人数是男生人数的1.5倍,若这所学校共有学生1500名,请你估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有多少名?
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