Question

某嘉年华游乐场投资150万元建设了以大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第一个月到x个月的维修保养费累计为y（万元）．且y=ax²+bx，若维修保养费第一个月为2万元，第二个月为4万元，若游乐场第一个月到第x个月的累计纯收入为W（万元）（纯收益为创收收入扣除投资和维修保养费用）
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求纯收益W关于x的函数解析式；
（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后能收回投资？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据题意确定x，y的两组对应值求y的函数关系式；
（2）根据纯收益W=开放后每月可创收33万元×月数x-游乐场投资150万元-从第1个月到第x个月的维修保养费用累计y，列出函数关系式；
（3）求函数最大值，及W＞0时，x的值，可确定回收投资的月份．

解答：解：（1）由题意得：x=1时y=2；
x=2时，y=2+4=6代入得：

a+b=2 4a+2b=6

解得：

a=1 b=1

，
∴y=x²+x；

（2）由题意得：
W=33x-150-（x²+x）
=-x²+32 x-150；

（3）W=-x²+32 x-150=-（x-16）²+106，
∴当x=16时，g_最大值=106，
即设施开放16个月后，游乐场的纯收益达到最大，
又∵当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；
当x≤5时，W＜0；
当x＞6时，W＞0，
∴6个月后能收回投资．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．