Question

14．大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；
（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？

Answer 1

分析 （1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；
（2）利用每件利润×销量=总利润，进而利用配方法求出即可；
（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．

解答 解：（1）由题意可得：y=$\left\{\begin{array}{l}{300-10x（0≤x≤30）}\\{300-20x（-20≤x＜0）}\end{array}\right.$；

（2）由题意可得：w=$\left\{\begin{array}{l}{（20+x）（300-10x）（0≤x≤30）}\\{（20+x）（300-20x）（-20≤x＜0）}\end{array}\right.$，
化简得：w=$\left\{\begin{array}{l}{-10{x}^{2}+100x+6000（0≤x≤30）}\\{-20{x}^{2}-100x+6000（-20≤x＜0）}\end{array}\right.$，
即w=$\left\{\begin{array}{l}{-10（x-5）^{2}+6250（0≤x≤30）}\\{-20（x+\frac{5}{2}）^{2}+6125（-20≤x＜0）}\end{array}\right.$，
由题意可知x应取整数，故当x=-2或x=-3时，w＜6125，
x=5时，W=6250，
故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；

（3）由题意w≥6000，如图，令w=6000，
将w=6000带入-20≤x＜0时对应的抛物线方程，即6000=-20（x+$\frac{5}{2}$）²+6125，
解得：x₁=-5，
将w=6000带入0≤x≤30时对应的抛物线方程，即6000=-10（x-5）²+6250，
解得x₂=0，x₃=10，
综上可得，-5≤x≤10，
故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用函数图象得出x的取值范围是解题关键．