Question

如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为

3

3

．

Answer 1

分析：连结OD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，根据切线的性质得OD⊥DF，再证明OD∥AB，则DF⊥AB，在Rt△ADF中根据含30度的直角三角形三边的关系得DF=

3

AF=2

3

，由BC为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠BDC=90°，则AD=CD=4，OD=4，所以OM=

1

2

OD=2，在Rt△DFH中可计算出FH=

3

，DH=

3

FH=3，则GM=3，于是OG=GM-OM=1，BG=OB-OG=3，在Rt△BGF中可计算FG=

3

BG=3

3

．

解答：解：连结OD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，
∵DF是圆的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ODC为等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠A=∠ODC，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△ADF中，AF=2，∠A=60°，
∴AD=4，DF=

3

AF=2

3

，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC，
∴AD=CD=4，
∴OD=4，
∴OM=

1

2

OD=2，
在Rt△DFH中，∠DFH=60°，DF=2

3

，
∴FH=

3

，DH=

3

FH=3，
∴GM=3，
∴OG=GM-OM=1，
∴BG=OB-OG=3，
在Rt△BGF中，∠FBG=60°，BG=3，
∴FG=

3

BG=3

3

．
故答案为3

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．