Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．

（1）求证：；

（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；

（3）当的值为多少时，△FDG为等腰直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）FD与DG垂直，理由见解析；（3）当时，△FDG为等腰直角三角形，理由见解析.

【解析】

（1）由比例线段可知，我们需要证明△ADC∽△EGC，由两个角对应相等即可证得；

（2）由矩形的判定定理可知，四边形AFEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，从而不难得到结论；

（3）先判断出DF＝DG，再利用同角的余角相等判断出∠ADF＝∠CDG，∠BAD＝∠C，得出△ADF≌△CDG，即可得出结论．

（1）证明：在△ADC和△EGC中，

∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C，

∴△ADC∽△EGC．

∴．

（2）解：FD与DG垂直．

理由如下：

在四边形AFEG中，

∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，

∴四边形AFEG为矩形．

∴AF＝EG．

∵，

∴．

又∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，

∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC，

∴△AFD∽△CGD．

∴∠ADF＝∠CDG．

∵∠CDG+∠ADG＝90°，

∴∠ADF+∠ADG＝90°．

即∠FDG＝90°．

∴FD⊥DG．

（3）解：当的值为1时，△FDG为等腰直角三角形，理由如下：

由（2）知，∠FDG＝90°，

∵△DFG为等腰直角三角形，

∴DF＝DG，

∵AD是BC边上的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADG+∠CDG＝90°，

∵∠FDG＝90°，

∴∠ADG+∠ADF＝90°，

∴∠ADF＝∠CDG，

∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，

∴∠BAD＝∠C，

∴△ADF≌△CDG（AAS），

∴AD＝CD，

∵∠ADC＝90°，

∴∠C＝45°＝∠B，

∴AB＝AC，

即：当的值为1时，△FDG为等腰直角三角形．