Question

（2004•泰安）如图，在△ABC中，AB=3，BC=2

2

，∠B=45°，在BC边上有一动点M，过M作MN∥AC，交AB于点N，连接AM，设CM=x（0＜x＜2

2

 ），△AMN的面积为S．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）是否存在点M，使△AMN的面积等于4？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接CN．MN平行AC，根据等底等高的三角形面积相等可得到S_△CMN=S_△AMN，利用相似三角形的性质可得到BN的长，作NH垂直BM于H，解直角三角形BNH可求出NH的长，继而求出S与x之间的函数关系式；
（2）不存在点M，使△AMN的面积等于4，设三角形AMN的面积为4，由（1）的函数关系可得一元二次方程无解，所以假设不成立．

解答：解：（1）连接CN．
∵MN∥AC，
∴S_△CMN=S_△AMN，
∵CM=x，则BM=2

2

-x，
∴△BMN∽BCA，
∴

BM

BC

=

BN

BA

，
∴

2 2 -x

2 2

=

BN

3

，
∴BN=

6 2 -3x

2 2

，
作NH垂直BM于H，
∵∠B=45度，
∴NH=

2

2

BN=

6 2 -3x

4

，
∴S=

1

2

CM•NH

6 2 x-3x2

8

；

（2）令S_△AMN=4，即4=

6 2 x-3x2

8

，
判别式b²-4ac＜0，方程无解．
故不存在点M，使△AMN的面积等于4．

点评：本题考查了相似三角形的判定、解直角三角形的有关知识、三角形的面积公式运用以及一元二次方程解的存在性问题，题目的综合性强，计算量大．