Question

20£®ÔÚÕý·½ÐÎABCDÖУ¬AB=2£¬£®
£¨1£©Èçͼ1£¬µãPÊǶԽÇÏßACÉÏÈÎÒ»µã£¬ÈôMÊÇABÖе㣬ÇóPM+PBµÄ×îСֵ£»
£¨2£©Èçͼ2£¬µãPÊǶԽÇÏßACÉÏÈÎÒ»µã£¬ÈôM£¬N·Ö±ðÊDZßAB£¬BCÉϵĵ㣬ÇÒAM=$\frac{1}{2}$AB£¬CN=$\frac{1}{3}$BC£¬ÇóPM+PNµÄ×îСֵ£®
£¨3£©Èçͼ3£¬ÈôM₁£¬M₂ÊÇAB±ßÈýµÈ·Öµã£¬P₁£¬P₂ÊǶԽÇÏßACÉÏÈÎÒâÁ½µã£¬Çó£¨P₁B+P₁M₁£©²+£¨P₂M₁+P₂M₂£©²µÄ×îСֵ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©Èçͼ1ÖУ¬Á¬½ÓPD¡¢DM£®B¡¢D¹ØÓÚAC¶Ô³Æ£¬ÍƳöPB=PD£¬ÍƳöPB+PM=PD+PM£¬ÔÚ¡÷PDMÖУ¬Ò×ÖªPD+PM¡ÜDM£¬Çó³öDM¼´¿É½â¾öÎÊÌ⣻
£¨2£©Èçͼ2ÖУ¬È¡ADµÄÖеãF£¬Á¬½ÓPF¡¢FN£¬×÷NH¡ÍADÓÚH£®ÒòΪM¡¢F¹ØÓÚAC¶Ô³Æ£¬ÍƳöPM=PF£¬¿ÉµÃPM+PN=PF+PN£¬ÔÚ¡÷PFNÖУ¬PF+PN¡ÝFN£¬ÓÉ´ËÇó³öFN¼´¿É½â¾öÎÊÌ⣻
£¨3£©·Ö±ðÇó³öP₁B+P₁M₁ÓëP₂M₁+P₂M₂µÄ×îСֵ¼´¿É½â¾öÎÊÌ⣻

½â´ð ½â£º£¨1£©Èçͼ1ÖУ¬Á¬½ÓPD¡¢DM£®

¡ßËıßÐÎABCDÊÇÕý·½ÐΣ¬
¡àAB=CB=CD=AD=2£¬¡ÏBAD=90¡ã£¬
ÔÚRt¡÷ADMÖУ¬DM=$\sqrt{A{D}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$£¬
¡ßB¡¢D¹ØÓÚAC¶Ô³Æ£¬
¡àPB=PD£¬
¡àPB+PM=PD+PM£¬
ÔÚ¡÷PDMÖУ¬Ò×ÖªPD+PM¡ÜDM£¬
¡àPM+PB¡Ý$\sqrt{5}$£¬
¡àPM+PBµÄ×îСֵΪ$\sqrt{5}$£®

£¨2£©Èçͼ2ÖУ¬È¡ADµÄÖеãF£¬Á¬½ÓPF¡¢FN£¬×÷NH¡ÍADÓÚH£®

Ò×ÖªËıßÐÎNHDCÊǾØÐΣ¬
¡ßCN=DH=$\frac{2}{3}$£¬DF=1£¬
¡àFH=DF-DH=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$£¬
ÔÚRt¡÷FNHÖУ¬FN=$\sqrt{N{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{37}}{3}$£¬
¡ßAM=BM£¬AF=FD£¬
¡àM¡¢F¹ØÓÚAC¶Ô³Æ£¬
¡àPM=PF£¬
¡àPM+PN=PF+PN£¬
ÔÚ¡÷PFNÖУ¬PF+PN¡ÝFN£¬
¡àPM+PN¡Ý$\frac{\sqrt{37}}{3}$£¬
¡àPM+PNµÄ×îСֵΪ$\frac{\sqrt{37}}{3}$£®

£¨3£©Èçͼ3ÖУ¬ÔÚADÉÏÈ¡Ò»µãN£¬Ê¹µÃAN=AM₂£¬Á¬½ÓNM₁¡¢NP₂¡¢DM₁¡¢DP₁£®

ÔÚRt¡÷ANM₁ÖУ¬NM₁=$\sqrt{A{N}^{2}+A{{M}_{1}}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$£¬
ÔÚRt¡÷ADM₁ÖУ¬DM₁=$\sqrt{A{D}^{2}+A{{M}_{1}}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$£¬
¡ßN¡¢M₂¹ØÓÚAC¶Ô³Æ£¬
¡àP₂N=P₂M₂£¬
¡àP₂M+P₂M₁=P₂N+P₂M₁¡ÝNM₁£¬
¡àP₂M+P₂M₁µÄ×îСֵΪ$\frac{2\sqrt{5}}{3}$£¬
ͬÀí£¬P₁B+P₁M₁¨TP₁D+P₁M₁¡ÝDM₁£¬
¡àP₁B+P₁M₁µÄ×îСֵΪ$\frac{2\sqrt{13}}{3}$£¬
¡à£¨P₁B+P₁M₁£©²+£¨P₂M₁+P₂M₂£©²µÄ×îСֵ=$\frac{20}{9}$+$\frac{52}{9}$=8£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÕý·½ÐεÄÐÔÖÊ¡¢Á½µãÖ®¼äÏ߶Î×î¶Ì¡¢¹´¹É¶¨Àí¡¢Öá¶Ô³ÆµÈ֪ʶ£¬½âÌâµÄ¹Ø¼üÊÇÁé»îÔËÓÃÖá¶Ô³Æ½â¾ö×îÖµÎÊÌ⣬ÊôÓÚÖп¼³£¿¼ÌâÐÍ£®