【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=8,点D为AB的中点,若直角MDN绕点D旋转,分别交AC于点E,交BC于F,则下列说法:①AE=CF;②EC+CF=4;③DE=DF;④若△ECF面积为一个定值,则EF长也是一个定值,其中正确的结论是_____.
【答案】①②③④
【解析】
①如果连接CD,可证△ADE≌△CDF,得出AE=CF;
②由①知,EC+CF=EC+AE=AC,而AC为等腰直角△ABC的直角边,由于斜边AB=8,由勾股定理可求出AC=BC=4;
③由①知DE=DF;
④由△ECF的面积=×CE×CF,如果这是一个定值,则CECF是一个定值,又EC+CF=,从而可唯一确定EC与EF的值,由勾股定理知EF的长也是一个定值.
解:①连接CD.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB的中点,
∴CD⊥AB,CD=AD=DB,
在△ADE与△CDF中,∠A=∠DCF=45°,AD=CD,∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF.
∴①说法正确;
②∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=8,
∴AC=BC=4.
由①知AE=CF,
∴EC+CF=EC+AE=AC=4.
∴②说法正确;
③由①知△ADE≌△CDF,
∴DE=DF.
∴③说法正确;
④∵△ECF的面积=×CE×CF,如果这是一个定值,则CECF是一个定值,
又∵EC+CF=,
∴可唯一确定EC与EF的值,
再由勾股定理知EF的长也是一个定值,
∴④说法正确.
故答案为:①②③④
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【题目】如图,正方形ABCD中,G为BC边上一点,BE⊥AG于E,DF⊥AG于F,连接DE.
(1)求证:△ABE≌△DAF;
(2)若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE∥BA交AC于点E,DF∥CA交AB于点F,已知CD=3.
(1)求AD的长;
(2)求四边形AEDF的周长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
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【题目】如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=10,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O切于点B,BP的延长线交直线l于点C.
(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;
(2)若PC=4,求⊙O的半径和线段PB的长.
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【题目】已知关于 x 的一元二次方程 x 2k 1 x k k 1 0 有实数根.
(1)求k 的取值范围;
(2)若此方程的两实数根,满足 11 ,求k 的值.
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【题目】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:①a+c=0,方程ax2+bx+c=0,有两个不相等的实数;②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根;③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有b2-4ac=(2am+b)2成立,其中正确的结论是_____.(把你认为正确结论的序号都填上)
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