Question

【题目】如图，二次函数与x轴、分别交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．连接CA、CB．

（1）直接写出抛物线的顶点坐标 ；∠BCO= °;

（2）点P是抛物线对称轴上一个动点， 当PA+PC的值最小时，点P的坐标是 ；

（3）在（2）的条件下，以点O为圆心，OA长为半径画⊙O，点F为⊙O上的动点，值最小，则最小值是 ；

（4）点D是直线BC上方抛物线上的一点，是否存在点D使∠BCD=∠CAO－∠ACO，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（1,4）；45°；（2）（1,2）；（3） ；（4）D的坐标为（）

【解析】

（1）根据抛物线的顶点公式计算出顶点和C,B即可；

（2）做C关于l的对称点,连接A点和C的对称点，交l的点即为P,此时PA+PC的值最小.

（3）圆O与y轴的交点为G，连接BG，BG与l的交点即要求的F点，此为胡不归模型.

（4）作AC的垂直平分线，交x轴于点N，连接CN，作CN⊥NM，截取NM=NC.连接CM.得M的坐标.求出直线CM的解析式，根据D为直线CM与抛物线的交点，得点D的坐标.

（1）（1,4）；45°

∵二次函数

∴y=-（x-1）2+4

∴抛物线的顶点坐标（1,4）

∵C(O,3),B(3,0）

∴CO=BO

∴∠BCO=45°

（2）（1,2）

作C关于l的对称点E,连接AE，交l的点即为P,此时PA+PC的值最小

∵A,E关于l对称，C(O,3)

∴E(2,3)

∴AE为y=x+1

∵点P在抛物线对称轴上

∴P(1,2)

（3）圆O与y轴的交点为G，连接BG，BG与l的交点即要求的F点，此为胡不归模型.求得最小值为.

（4）作AC的垂直平分线，交x轴于点N，则N点坐标为（4，0），连接CN，作CN⊥NM，截取NM=NC.连接CM.则点M的坐标为（7,4）.直线CM的解析式为，，得点D的坐标为（）.

由题意可知A(-1,0），C(0,3）

作AC的垂直平分线，交x轴于点N

∴该垂直平分线为y= -x+

∴N点坐标为（4，0）

连接CN，作CN⊥NM，截取NM=NC，连接CM

CN=MN=5且CN⊥NM

∴M的坐标为（7,4）

可得直线CM的解析式为

∵根据D为直线CM与抛物线的交点

∴

∴D的坐标为（）

/p>