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    如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角． (提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)

    1.当动点P落在第①部分时，有∠APB＝∠PAC＋∠PBD，请说明理由；

    2.当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？

    3.当动点P在第③部分时，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，直接写出你发现的结论．

     

    【答案】

     

    1.过点P作直线AC的平行线（如图），易知∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，

    又∵∠APB=∠1+∠2，

    ∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

    2.不成立．

    过点P作AC的平行线PQ，∠APB=∠1+∠2，

    ∵直线AC∥BD，

    ∴∠PAC+∠1=180°，∠PBD+∠2=180°，

    ∴∠PAC+∠1+∠PBD+∠2=360°，

    故∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．（

    3.设射线BA将区域③分成Ⅰ、Ⅱ两部分（如左图），

    ①若点P位于第Ⅰ部分（如中图），则∠PBD=∠3，∠PAC+∠APB=∠3，

    所以∠APB=∠PBD-∠PAC，

    ②若点P位于第Ⅱ部分（如右图），则∠PBD=∠6+∠ABD，∠PAC=∠4+∠5，∠ABD=∠5，

    ∴∠PAC-∠PBD=∠4-∠6，

    而∠6+∠APB=∠4，

    ∴∠APB=∠PAC-∠PBD．

    ③P落在射线BA上时，∠PAC=∠PBD，∠APB=0°．

    【解析】

    1.过点P作AC的平行线，根据平行线的性质将∠PAC，∠PBD等量转化，证出结论．

    2.过点P作AC的平行线PQ，∠APB=∠APQ+∠QPB，∠PAC与∠APQ是一对同旁内角，∠QPB与∠PBD也是一对同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，发现三个角的和是360度．

    3.根据BA的延长线上，或两侧分别解答．

     

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    （1）当动点P落在第②部分时，在图＜2＞中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；
    （2）当动点P落在第③部分时，在图＜3＞、图＜4＞中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．

    （1）当动点P落在第②部分时
    ∠APB=∠PAC+∠PBD
    ．
    （2）当动点P落在第③部分时（如图＜3＞）
    ∠PBD=∠APB+∠PAC
    ．
    当动点P落在第③部分时（如图＜4＞）
    ∠PAC=∠PBD+∠APB
    ．

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    27、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
    （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
    （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
    （3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

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    如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角． （提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）
    （1）当动点P落在第①部分时，有∠APB=∠PAC+∠PBD，请说明理由；
    （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？若不成立，试写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的等量关系（无需说明理由）；
    （3）当动点P在第③部分时，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，写出你发现的一个结论并加以说明．

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    （1）当动点P落在第①部分时，试说明∠APB=∠PAC+∠PBD；
    （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
    （3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以说明．

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