Question

已知二次函数的图象经过（0，0），（1，-1），（-2，14）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数的图象与直线y=x+t（t≤1）相交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）两点（x₁≠x₂）．
①求t的取值范围；
②设m=y₁²+y₂²，求m与t之间的函数关系式及m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于图象过（0，0），（1，-1），（-2，14）三点，可以设出一般式，用待定系数法解答；
（2）因为二次函数与直线有两个交点，根据函数图象的交点个数与它们组成的方程组的解的个数的关系，可以利用根的判别式解答．

解答：解：（1）将（0，0），（1，-1），（-2，14）代入三点，
得

c=0 a+b+c=-1 4a-2b+c=14

，
解得a=2，b=-3，c=0，
二次函数解析式为y=2x²-3x．

（2）①i）当t=1时，直线y=x+t（t≤1）可化为y=x+1，
代入二次函数解析式y=2x²-3x得，2x²-4x-1=0，
△=（-4）²-4×2×（-1）=24＞0，
故直线与抛物线有两个不同的交点．
ii）当直线与抛物线相切时t取得最小值，
把y=x+t代入抛物线y=2x²-3x得，2x²-4x-t=0．
△=（-4）²-4×2×（-t）=0，
即t=-2，
故t的取值范围是-2＜t≤1；
②∵二次函数的图象与直线y=x+t（t≤1）相交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）两点（x₁≠x₂），
∴2x²-3x=x+t，即2x²-4x-t=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-

t

2

，
∴m=y₁²+y₂²=（x₁+t）²+（x₂+t）²=（x₁+x₂）²+2（x₁+x₂）t+2t²-2x₁x₂=2t²+5t+4，
即m=2t²+5t+4．（m＞0）．

点评：此题将用待定系数法求函数解析式、函数图象的交点个数与它们组成的方程组的解的个数的关系以及根的判别式结合起来，综合性较强，有一定的难度．