Question

12．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD．
（1）用直尺和圆规作∠BAD的平分线AE，AE与BC相交于点E．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形ABED是菱形；
（3）若∠B+∠C=90°，BC=18，CD=12，求菱形ABED的面积．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的尺规作图方法，作∠BAD的平分线AE，AE与BC相交于点E；
（2）先根据AD∥BC，AD=BE，得到四边形ABED是平行四边形，再根据AB=AD，即可得到四边形ABED是菱形；
（3）连接DE，过点D作DF⊥BC于点F，设DE=BE=x，根据BC=18，得到EC=18-x，再根据勾股定理得到方程x²+12²=（18-x）²，解得x=5，S再根据_△EDC=$\frac{1}{2}$DE×CD=$\frac{1}{2}$EC×DF，可得DF=$\frac{60}{13}$，最后根据菱形ABED的面积=BE×DF进行计算．

解答 解：（1）如图所示，射线AE即为所求；


（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵AB=AD，
∴AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=AD，
∴四边形ABED是菱形；

（3）如图所示，连接DE，过点D作DF⊥BC于点F，
∵四边形ABED是菱形，
∴DE∥AB，DE=BE，
∴∠DEC=∠B，
又∵∠B+∠C=90°，
∴∠DEC+∠C=90°，
∴∠EDC=90°，
设DE=BE=x，
∵BC=18，
∴EC=18-x，
∵DE²+CD²=BC²，而CD=12，
∴x²+12²=（18-x）²，
解得x=5，
∴DE=BE=5，EC=13，
∵S_△EDC=$\frac{1}{2}$DE×CD=$\frac{1}{2}$EC×DF，
∴DF=$\frac{60}{13}$，
∴菱形ABED的面积=BE×DF=5×$\frac{60}{13}$=$\frac{300}{13}$．

点评 本题主要考查了尺规作图，菱形的判定以及菱形的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：一组邻边相等的平行四边形是菱形．解题时注意方程思想以及面积法的运用．