Question

在一场篮球比赛中，一球星将球出手时，球离地面

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米，球的运行轨迹为抛物线，当球运行的水平距离为4米时，球到达的最高点离地4米．
（1）建立适当的平面直角坐标系，使得球出手时的坐标是（0，

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），球运行的最高点坐标为（4，4），求出此坐标系中球的运行轨迹抛物线对应的函数关系式（不要求写取值范围）；
（2）若球投入了离地面3米高的篮筐，请求篮筐离球星（坐标原点）的水平距离；
（3）如图，在篮球场地面以篮筐正下方点O为圆心一些同心的半圆弧，半圆弧上有一些投篮点，相邻的半圆之间宽度1 米，最内半圆弧的半径为r 米，其上每0.2π米的弧长上都是该球星投篮命中率较高的点（含半圆弧的两端点），其它半圆上的命中率较高的点个数与最内半圆弧上的个数相同，若该球星在（1）中投球站立的位置恰好在最外面的一个半圆弧上，求当r为多少时，投篮的同心半圆弧中投篮命中率较高的点的个数最多？

Answer 1

分析：（1）设抛物线顶点式解析式为y=a（x-4）²+4，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）令y=3，解关于x的一元二次方程，求出纵坐标是3的点的坐标，即可得到球星距离坐标原点的水平距离为7米；
（3）根据弧长公式求出最内半圆弧上的命中率较高的点的个数，再表示出到该球星所站的位置所在的最外面的弧线的条数，然后列式整理，再根据二次函数的最值问题解答即可．

解答：解：（1）∵最高点坐标为（4，4），
∴设抛物线顶点式解析式为y=a（x-4）²+4，
∵球的出手点坐标为（0，

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），
∴16a+4=

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，
解得a=-

1

9

，
所以，函数关系式为y=-

1

9

（x-4）²+4；

（2）当y=3时，-

1

9

（x-4）²+4=3，
整理得，（x-4）²=9，
解得x₁=1，x₂=7，
∵球到达过最高点（4，4），
∴篮筐的坐标为（7，3），
∴篮筐距离球星的水平距离为7米；

（3）∵每0.2π米的弧长上都是该球星投篮命中率较高的点（含半圆弧的两端点），
∴最内半圆弧上的命中率较高的点的个数为：

πr

0.2π

+1=5r+1，
共有弧线条数为：7-r+1=8-r，
所以，投篮命中率较高的点的个数=（5r+1）（8-r）=-5r²+39r+8，
∵-

b

2a

=-

39

2×(-5)

=3.9，
∴半径r=4米时，投篮命中率较高的点的个数最多，
最大多的点数为：-5×4²+39×4+8=84．

点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值的方法，二次函数的最值问题，（3）确定出最内半圆弧上点的个数与弧线的条数是解题的关键，也是本题容易出错之处．